Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大��；
（3）在（2）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，求出高SO，從而得到點(diǎn)S與點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，求出向量與，計(jì)算它們的數(shù)量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；
（2）根據(jù)題意先求出平面PAC的一個(gè)法向量和平面DAC的一個(gè)法向量，設(shè)所求二面角為θ，則，從而求出二面角的大�。�
（3）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC，根據(jù)（Ⅱ）知是平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)，求出，根據(jù)可求出t的值，從而即當(dāng)SE：EC=2：1時(shí)，，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC
解答：證明：（1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz如圖．
設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高．
于是，
，，
，
故OC⊥SD
從而AC⊥SD
（2）由題設(shè)知，平面PAC的一個(gè)法向量，
平面DAC的一個(gè)法向量．
設(shè)所求二面角為θ，則，
所求二面角的大小為30°．
（3）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知是平面PAC的一個(gè)法向量，
且
設(shè)，
則
而
即當(dāng)SE：EC=2：1時(shí)，
而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定和二面角的求法，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)．