Question

把函數(shù)f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x（x∈R）的圖象按向量平移，所得函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線對稱．
（1）設(shè)有不等的實數(shù)x₁、x₂∈（0，π），且f（x₁）=f（x₂）=1，求x₁+x₂的值；
（2）求m的最小值；
（3）當(dāng)m取最小值時，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）f（x）=cos2x-sin2x+2，∴，∵f（x₁）=f（x₂）=1，
∴，，故 x= 過函數(shù)圖象的最低點，
∴．
（2）移后的表達(dá)式用（x，y）表示，則 ，∴．
由于 關(guān)于 對稱，∴，
∴，k∈Z，∴m_min= 解得k=4．
（3），由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得
kπ-≤x≤kπ+，故函數(shù)的減區(qū)間為 ，k∈Z．
分析：（1），由f（x₁）=f（x₂）=1得到，，
故 x= 過函數(shù)圖象的最低點，可得 ．
（2）移后的表達(dá)式用（x，y）表示，則 ，由于 關(guān)于 對稱，可得 ，m_min=．
（3），由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求出函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
點評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，y=Asin（ωx+∅）的圖象的變換，求出g（x）的解析式，是解題的難點．