Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求證：當時，對任意都有；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1），令，求導得單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增， ，即；（2）令，則有兩個變號零點，且，通過分類討論得， .

試題解析：

（1）當時， ，當時， 顯然成立；

當時， ；

令， ，則，

可得， ， 減； ， ， 增；

故時， ，

綜上，任意都有，得證.

（2）函數(shù)定義域為，令，若有兩個極值點，則有兩個變號零點，且，

當時， 在上恒成立，函數(shù)在上單增， 至多有一個零點，此時不存在兩個極值點；

當時，令，可得，且，

，即函數(shù)在單減，在單增，

若條件成立，則必有 ，此時，

下證： 時，函數(shù)有兩個零點

由于，故，即在有唯一零點，記為；

易得時， ，且 ，

令，則，由（1）可得大于0恒成立，從而，

即，故在有唯一零點，記為，

從而， ， ； ， ； ，

綜上，函數(shù)有兩個極值點時， .