Question

設(shè)集合A_n={x|（x-1）（x-n²-4+lnn）＜0}，當(dāng)n取遍區(qū)間（1，3）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，所有的集合A_n的并集是（　　）

• A、（1，13-ln3）
• B、（1，6）
• C、（1，+∞）
• D、（1，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,并集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求不等式的解集，再構(gòu)造函數(shù)求出所有函數(shù)的值域再求值域的并集就可以了．

解答： 解：（x-1）（x-n²-4+lnn）=0的兩根為x₁=1，x2=n2+4-lnn，
又n²+4-lnn＞1，∴An=(1，n2+4-lnn)，
設(shè)f（n）=n²+4-lnn，n∈（1，3），則f′(n)=2n-

1

n

=

2n2-1

n

，
在n∈（1，3）時(shí)f′（n）＞0，∴f（n）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，
即f（n）＜f（3）=13-ln3，所以集合A_n的并集為（1，13-ln3）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題利用構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本題對(duì)初學(xué)者來(lái)講有一定的難度，屬于中檔題．