如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于，兩點，且、、三點互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．
（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）根據(jù)題意及列方程組可得的值。即可得此橢圓方程。（2）設出的坐標及直線的方程與橢圓方程聯(lián)立消掉可得關于的方程，根據(jù)題意可知判別式應大于0，根據(jù)韋達定理可得此方程的兩根之和與兩根之積。即點橫坐標間的關系，代入直線方程，可得點縱坐標之間的關系。然后根據(jù)斜率公式可得斜率之和，將其化簡問題即可得證。
試題解析：由題意，可得，代入
得，又，      2分
解得，，，
所以橢圓的方程.        5分
(2)證明：設直線的方程為，又三點不重合，∴，設，，
由得
所以 
 ①   ②       8分
設直線，的斜率分別為，，
則
 (*)       10分
將①、②式代入(*)，
整理得，
所以，即直線的斜率之和為定值.          12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設點P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設直線與C交于A，B兩點．問k為何值時？此時的值是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線方程是（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設點P的軌跡與y軸負半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為r.
(ⅰ)求圓M的方程；
(ⅱ)當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，經過點M的直線l與曲線E交于點A、B，且＝－2.
(1)若點B的坐標為(0，2)，求曲線E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓＝1的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標x0的取值范圍．

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