【題目】已知函數(shù)， .

（1）求過點的的切線方程；

（2）當時，求函數(shù)在的最大值；

（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

【答案】（1），（2）當時， 的最大值為；

當時， 的最大值為；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）設出切點坐標，表示出切線方程，代入點的坐標，求出切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出F（x）的最大值即可；

（3）問題可化為m＞（x﹣2）ex+lnx﹣x，設，要證m≥﹣3時m＞h（x）對任意均成立，只要證h（x）max＜﹣3，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：

解：（1）設切點坐標為，則切線方程為，

將代入上式，得， ，

∴切線方程為；

（2）當時， ， ，

∴， ，

當時， ，當時， ，

∴在遞增，在遞減，

∴當時， 的最大值為；

當時， 的最大值為；

（3）可化為，

設， ，要證時對任意均成立，只要證，下證此結(jié)論成立.

∵，∴當時， ，

設，則，∴在遞增，

又∵在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，

且， ，

∴使得，即， ，

當時， ；當時， ， ；

∴函數(shù)在遞增，在遞減，

∴ ，

∵在遞增，∴，即，

∴當時，不等式對任意均成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上

（）求的方程．

（）設直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率的和為，

證明： 過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推. 設該數(shù)列的前項和為,

規(guī)定：若 ,使得（ ），則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.

（Ⅰ）將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫出前3個“佳冪數(shù)”；

（Ⅱ）試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說明理由；

（III）（i）求滿足>70的最小的“佳冪數(shù)”;

（ii）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，求在點的切線方程；

（2）若對， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市教育局對該市普通高中學生進行學業(yè)水平測試，試卷滿分120分，現(xiàn)從全市學生中隨機抽查了10名學生的成績，其莖葉圖如下圖所示：

（1）已知10名學生的平均成績?yōu)?8，計算其中位數(shù)和方差；

（2）已知全市學生學習成績分布服從正態(tài)分布，某校實驗班學生30人.

①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計該班學業(yè)水平測試成績在的學生人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；

②為參加學校舉行的數(shù)學知識競賽，該班決定推薦成績在的學生參加預選賽若每個學生通過預選賽的概率為，用隨機變量表示通過預選賽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.

正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并寫出詳細過程；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面 平面， 為中點， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若二面角的平面角大小滿足，求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，記.

（1）求證： 在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù)；

（2）用表示中的最小值，設函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根，記在內(nèi)的實根為.求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在銳角三角形中，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足.

（1）求角的大�。�

（2）若，且，求的值.

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