Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB．點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點．
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系，由條件求得M、N兩點的坐標，即可求得以MN為直徑的圓的方程．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x₀，y₀），求得 M（4，

6y0

x0+2

）、N（4，

2y0

x0-2

），以及MN的值，求得MN的中點，
坐標為（4，

4(x0-1)

y0

），由此求得以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為 2

4(x0-4)2 y02 - 16(x0-1)2 y02

，化簡可得結果．

解答：解：（Ⅰ）以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如直角坐標系，
由于⊙O的方程為x²+y²=4，直線L的方程為x=4，∠PAB=30°，∴點P的坐標為（1，

3

），
∴l(xiāng)_AP：y=

3

3

 （x+2），l_BP：y=-

3

（x-2）．
將x=4代入，得M（4，2

3

），N（4，-2

3

）．
∴MN的中點坐標為（4，0），MN=4

3

．∴以MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=12．
同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是 （x-4）²+y²=12．…（6分）
（Ⅱ）設點P的坐標為（x₀，y₀），則 x02+y02=4 （y₀≠0），∴y02=4-x02．
∵直線AP：y=

y0

x0+2

（x+2），直線BP：y=

y0

x0-2

（x-2），將x=4代入，得 y_M=

6y0

x0+2

，y_N=

2y0

x0-2

．
∴M（4，

6y0

x0+2

）、N（4，

2y0

x0-2

），MN=|

6y0

x0+2

-

2y0

x0-2

|=

4|x0-4|

|y0|

，
故MN的中點坐標為（4，

4x0-4

y0

 ）．
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為 2

4(x0-4)2 y02 - 16(x0-1)2 y02

=

4

|y0|

•

12-3x02

=

4 3

|y0|

•

4-x02

=

4 3

|y0|

•| y0|=4

3

 為定值．
再根據(jù)以MN為直徑的圓O′的半徑為2

3

，AB的中點O到直線MN的距離等于4，故O′為線段MN的中點，
可得⊙O′必過⊙O 內定點（4-2

3

，0）．

點評：本題主要考查求圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，屬于中檔題．