Question

15．已知以拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為虛軸的一個端點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），拋物線的一條與雙曲線的漸近線平行的切線在y軸上的截距為-1，則p的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)切線方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}$x-1與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得x²-$\frac{pb}{\sqrt{2}}$x+2p=0，△=0，可得$\frac{{p}^{2}^{2}}{2}$-8p=0，再求出b=$\frac{p}{2}$，即可求出p的值．

解答 解：雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{2\sqrt{2}}$x，不妨設(shè)切線方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}$x-1
與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得x²-$\frac{pb}{\sqrt{2}}$x+2p=0，
△=0，可得$\frac{{p}^{2}^{2}}{2}$-8p=0，
∵以拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為虛軸的一個端點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），
∴b=$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{{p}^{4}}{4}-16p$=0，
∵p＞0，
∴p=4．
故選：D．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．