Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中點．
（1）PB∥平面ACE；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）求四面體PACE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接BD，AC∩BD=0，則O是BD的中點，利用OE是中位線，所以PB∥OE．因為PB?平面ACE，OE?平面ACE，所以PB∥平面ACE；
（2）根據邊的長度關系可知三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，同理PA⊥AB，又AD∩AB=A，滿足線面垂直的判斷定理，則PA⊥平面ABCD，根據線面垂直得到面面垂直，再由面面垂直得到線線垂直，即CD⊥AE，因為E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，從而AE⊥PD，又PD∩CD=D，滿足線面垂直的判定定理可得結論．
（3）四面體PACE的體積為V_A-PCE，即可求解．

解答： （1）證明：連接BD，AC∩BD=0，則O是BD的中點，
因為E是PD的中點，
所以PB∥OE
因為PB?平面ACE，OE?平面ACE，
所以PB∥平面ACE；
（2）因為PA²+AD²=4²+4²=32，PD²=（4

2

）²=32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2

5

）²=20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB．
又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD．
因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因為AE?平面PAD，
所以CD⊥AE．
因為E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD．
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD．
（3）解：四面體PACE的體積為V_A-PCE=

1

3

•

1

2

•2

2

•2•2

2

=

8

3

．

點評：證明線面平行只要在平面內找到一條直線與已知直線平行即可，證明面與面垂直只要證明其中一個平面過另一個平面的垂線即可，求三棱錐的體積關鍵是找到一個高并且簡單易求．