Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=e^x上，點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：求兩個(gè)曲線上不同兩點(diǎn)的距離的最小值，顯然沒法利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，可結(jié)合函數(shù)y=e^x上的點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)在其反函數(shù)的圖象上把問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=lnx上的點(diǎn)與上的點(diǎn)到直線y=x的距離之和最小問題，而與y=x平行的直線同時(shí)與曲線y=lnx和切于同一點(diǎn)（1，0），所以PQ的距離的最小值為（1，0）點(diǎn)到直線y=x距離的2倍．
解答：解：如圖，
因?yàn)閥=e^x的反函數(shù)是y=lnx，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
所以曲線y=e^x上的點(diǎn)P到直線y=x的距離等于在曲線y=lnx上的對(duì)稱點(diǎn)P^′到直線y=x的距離．
設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-1+，
=，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f^′（x）0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）=0，
則當(dāng)x＞0時(shí)，除（1，0）點(diǎn)外函數(shù)y=lnx的圖象恒在y=1-的上方，在（1，0）處兩曲線相切．
求曲線y=e^x上的點(diǎn)P與曲線y=1-上的點(diǎn)Q的距離的最小值，可看作是求曲線y=lnx上的點(diǎn)P^′與Q點(diǎn)
到直線y=x的距離的最小值的和，而函數(shù)y=lnx與y=1-在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)都是1，說明與直線y=x平行的直線
與兩曲線切于同一點(diǎn)（1，0）則PQ的距離的最小值為（1，0）點(diǎn)到直線y=x距離的2倍，
所以|PQ|的最小值為．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是分析得到函數(shù)y=lnx的圖象除（1，0）點(diǎn)外恒在y=1-的上方，且在（1，0）處兩曲線相切．此題屬中檔題．