Question

9．在平面直角坐際系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的-個(gè)定點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與圓x²+（y-2）²=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)O₂（a，0），圓O₂的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x²+（y-2）²=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長．

解答 解：設(shè)O₂（a，0），圓O₂的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則
tan∠OPA=$\frac{a-r}{t}$，tan∠OPB=$\frac{a+r}{t}$，
∴tan∠APB=$\frac{\frac{a+r}{t}-\frac{a-r}{t}}{1+\frac{{a}^{2}-{r}^{2}}{{t}^{2}}}$=$\frac{2rt}{{t}^{2}+{a}^{2}-{r}^{2}}$，
∵$\sqrt{{a}^{2}+4}$=|r+1|，
∴a²=（r+1）²-4，
∴tan∠APB=$\frac{2rt}{{t}^{2}+2r-3}$=$\frac{2t}{\frac{{t}^{2}-3}{r}+2}$，
∵∠APB的大小恒為定值，
∴$t=\sqrt{3}$，
∴|OP|=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．