Question

1．某電視競賽截面設置了先后三道程序，優(yōu)、良、中，若選手在某道程序中獲得“中”，則該選手在本道程序中不通過，且不能進入下面的程序，選手只有全部通過三道程序才算通過，某選手甲參加了該競賽節(jié)目，已知甲在每道程序中通過的概率為$\frac{3}{4}$，每道程序中得優(yōu)、良、中的概率分別為p₁，$\frac{1}{2}$，p₂．
（1）求甲不能通過的概率；
（2）設ξ為在三道程序中獲優(yōu)的次數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）由已知列出方程組求出${p}_{1}={p}_{2}=\frac{1}{4}$，由此能求出甲不能通過的概率．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（1）∵某選手甲參加了該競賽節(jié)目，已知甲在每道程序中通過的概率為$\frac{3}{4}$，
每道程序中得優(yōu)、良、中的概率分別為p₁，$\frac{1}{2}$，p₂．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}}\\{{p}_{1}+{p}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解是${p}_{1}={p}_{2}=\frac{1}{4}$，
設事件A表示“甲不能通過”，
則甲不能通過的概率P（A）=$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{37}{64}$．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+$$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{5}{16}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{7}{64}$	$\frac{1}{64}$

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．