Question

已知圓C：x²+y²-2x+mx-4=0上的兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線2x+y=0對(duì)稱，直線l：tx+y-t+1=0（t∈R）與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：首先根據(jù)圓的對(duì)稱性確定圓的方程，圓心C的坐標(biāo)及半徑，因?yàn)橹本�恒過(guò)定點(diǎn)D（1，-1），所以當(dāng)直線與CD垂直時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)|AB|最短．

解答： 解：由圓的對(duì)稱性可知，
直線2x+y=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心．
∵圓C的圓心是(1，-

m

2

)，
∴2-

m

2

=0
∴m=4．
∴圓心C（1，-2）
半徑r=3．
∵直線l：tx+y-t+1=0（t∈R）可化為：
y+1=-t（x-1）
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)D（1，-1），
∴|CD|=1
由圓的性質(zhì)易知，
AB⊥CD時(shí)，|AB|最短．
∴|AB|min=2

r2-|CD|2

=4

2

故答案為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的對(duì)稱性，直線與圓相交的性質(zhì)，以及過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)取最值等知識(shí)．