Question

已知拋物線y²=4px（p＞0），弦AB過焦點F，設|AB|=m，三角形AOB的面積為S，則S²=________（用含有m，p的式子表示）．

Answer 1

mp³
分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB所在直線的方程為y=k（x-p），與拋物線y²=4px聯(lián)解，并結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得y₁y₂=-4p²．根據(jù)拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+2p=m，結(jié)合拋物線方程化出y₁²+y₂²=4mp-8p²，可得|y₁-y₂|=．最后根據(jù)三角形面積公式，得S=|OF|•|y₁-y₂|=p，進而得到本題的答案．
解答：∵拋物線y²=4px的焦點為F（p，0）
∴設弦AB所在直線的方程為y=k（x-p），（k≠0）
與拋物線y²=4px聯(lián)解，得ky²-4py-4kp²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁y₂=-4p²．
根據(jù)拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+2p=m
∴x₁+x₂=y₁²+y₂²=m-2p，得y₁²+y₂²=4p（m-2p）=4mp-8p²．
由此可得|y₁-y₂|²=（y₁²+y₂²）-2y₁y₂=4mp-8p²-（-8p²）=4mp
∴S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=|OF|•|y₁-y₂|=p
因此，可得S²_△AOB=p²•4mp=mp³，即S²=mp³
故答案為：mp³
點評：本題給出拋物線過焦點的弦AB的長度，求△AOB面積的表達式，著重考查了拋物線的簡單性質(zhì)和直線與拋物線關(guān)系等知識，屬于中檔題．