Question

設集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中僅有一個元素，求實數a的取值集合B；
（2）若對于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令2^x=t（t＞0），設f（t）=t²-4t+a，通過換元可知：由f（t）=0在（0，+∞）上僅有一根或兩相等實根，通過分類討論利用△及其根與系數的關系即可得出；
（2）要使原不等式對任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．轉化為一次函數，利用其單調性只須

x-2≤0 g(4)＞0

解出即可．

解答：解：（1）令2^x=t（t＞0），設f（t）=t²-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上僅有一根或兩相等實根，
①f（t）=0有兩等根時，△=0⇒16-4 a=0⇒a=4．
驗證：t²-4t+4=0⇒t=2∈（0，+∞）這時x=1．
②f（t）=0有一正根和一負根時，f（0）＜0⇒a＜0．
③若f（0）=0，則a=0，此時4^x-4•2^x=0⇒2^x=0，（舍去），或2^x=4，∴x=2，此時A中只有一個元素．
∴實數a的取值集合為B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式對任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．
只須

x-2≤0 g(4)＞0

⇒

x≤2 x2-10x+8＜0

⇒5-

17

＜x≤2．

點評：熟練掌握換元法、指數函數的單調性、一元二次方程的判別式△及根與系數的關系、一次函數的單調性等是解題的關鍵．