Question

設(shè)函數(shù)，（a∈R）．
（1）若a=1，證明：當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f（x）≥0；
（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N且n＞1求證：．

Answer 1

（1）證明：a=1時(shí)，x＞﹣1時(shí)，f（x）≥0，即，
亦即1﹣（x+1）e^﹣x≥0，即e^x≥x+1
因此只要證當(dāng)x＞﹣1時(shí)，e^x≥x+1
構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x﹣x﹣1，
∴g′（x）=e^x﹣1
當(dāng)x≥0時(shí)，g′（x）≥0；
當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0
∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)增，（﹣1，0]上單調(diào)減
∴g（x）_min=g（0）=0
∴g（x）≥0，即當(dāng)x＞﹣1時(shí)，e^x≥x+1
∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f（x）≥0；
（2）解：f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，等價(jià)于x≥0時(shí)，恒成立
∵1﹣e^﹣x∈[0，1），
∴
∴若x=0時(shí)，0=0，此時(shí)a∈R；
若x＞0，ax+1＞0，
∴，
∴a≥0 ∴a≥0，
x≥0時(shí)，恒成立，等價(jià)于（1﹣e^﹣x）（ax+1）﹣x≤0恒成立
令h（x）=（1﹣e^﹣x）（ax+1）﹣x，
∴h′（x）=a（1﹣e^﹣x）+（ax+1）e^﹣x﹣1
∴h″（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1）
∵a≥0，x≥0，
∴h″（x）≤（2a﹣1）e^﹣x
①若2a﹣1≤0，即  時(shí)，h″（x）≤0，
∴h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)減，
∴h′（x）≤h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)減，
∴h（x）≤h（0）=0，
∴f（x）≤0，滿(mǎn)足題意；
②若2a﹣1＞0，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，h''（x）＞0，
∴h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)增，
∴h′（x）＞h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)增，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴f（x）＞0，不滿(mǎn)足題意；
綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ；
（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=時(shí)，，
∴，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，，
∴令，
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴