精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）須同時滿足下列三個條件：
①定義域為（-1，1）；
②對于任意的x，y∈（-1，1），均有 $數(shù)學公式$ ；
③當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）∈M，證明：y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù) $數(shù)學公式$ ，判斷是否有h（x）∈M，說明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且 $數(shù)學公式$ ，求函數(shù) $數(shù)學公式$ 的所有零點．

證明：（I）若函數(shù)f（x）∈M，
則函數(shù)的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱
令x=y=O，則由 $\text{[math]}$ 得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函數(shù) $\text{[math]}$ 的定義域為（-1，1），滿足條件①
且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故h（x）+h（y）= $\text{[math]}$ ，滿足條件②
當-1＜x＜0時， $\text{[math]}$ ，此時h（x）＞0，滿足條件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，則x-y＜0，1-xy＞0，則 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 及（1）可得 $\text{[math]}$
又∵當x＜0時，f（x）＞0
∴ $\text{[math]}$ ＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，故函數(shù)至多有一個零點
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又∵當x=y=2- $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，此時 $\text{[math]}$ =0
故函數(shù) $\text{[math]}$ 的零點為2- $\text{[math]}$
分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，進而根據(jù)奇函數(shù)的定義可得y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式 $\text{[math]}$ ，求出函數(shù)的定義域，并驗證條件①②③是否成立，進而根據(jù)集合M的定義判斷h（x）∈M是否成立；
（III）根據(jù)已知分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以分析出函數(shù)在定義域上至多有一個零點，結(jié)合 $\text{[math]}$ 可求出該零點．
點評：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，同時又有一個比較難理解的新定義集合M，且（III）中函數(shù)零點的求法難度也比較大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、已知集合M={f（x）|f（-x）=f（x），x∈R}；N={f（x）|f（-x）=-f（x），x∈R}；P={f（x）|f（1-x）=f（1+x），x∈R}；Q={f（x）|f（1-x）=-f（1+x），x∈R}；若f（x）=（x-1）³，x∈R，則下列關(guān)系中正確的序列號為：

④

①f（x）∈M②f（x）∈N③f（x）∈P④f（x）∈Q

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命題：
①若f1(x)=

1，x≥0

-1，x＜0

則f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=sinx，則f₂（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
④若f（x）∈M，則對任意不等的實數(shù)x₁、x₂，總有

f1(x)-f2(x)

x1-x2

＜0；
⑤若f（x）∈M，則對任意的實數(shù)x₁、x₂，總有f(

x1+x2

)≤

f1(x)+f2(x)

．
其中是正確的命題有

．（寫出所有正確命題的編號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命題
①若f₁（x）=

1，x≥0

-1，x＜0

則f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=2x，則f₂（x）∈M；
③若f₃（x）∈M，則y=f₃（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
④若f₄（x）∈M則對于任意不等的實數(shù)x₁，x₂，總有

f4(x1)-f4(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正確命題的序號是

②③

．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={f（x）|在定義域內(nèi)存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立}．
（1）函數(shù)f（x）=

是否屬于集合M？說明理由．
（2）證明：函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M．
（3）設函數(shù)f（x）=lg

2x+1

∈M，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•上海模擬）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin

πx

．
（1）判斷g（x）與M的關(guān)系，并說明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函數(shù)，證明你的結(jié)論；
（3）M中的元素是否都是奇函數(shù)，證明你的結(jié)論．

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