Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,連接,交橢圓于點(diǎn).證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，.

試題分析：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)知，，結(jié)合可很快求得，這樣就得出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，，則，因此我們要把用表示出來(lái)，先用把直線(xiàn)方程寫(xiě)出，然后與橢圓方程聯(lián)立解方程組可得（注意消去得關(guān)于的二次方程，這個(gè)二次方程有一個(gè)解是，另一解是，這樣很容易得到，于是有）；（3）這是存在性命題，總是假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，由題意則應(yīng)該有，即，而點(diǎn)的坐標(biāo)在（2）中已經(jīng)用表示出來(lái)了，因此利用若能求出，則說(shuō)明符合題意的點(diǎn)存在，否則就不存在．
(1),,橢圓方程為       4分
(2),設(shè),則.
直線(xiàn):,即, 
代入橢圓得
 
,.
, 
(定值).               10分
(3)設(shè)存在滿(mǎn)足條件,則.
,, 
則由得 ,從而得.
存在滿(mǎn)足條件                    16分