Question

5．函數(shù)$f（x）={log_2}（a-{2^x}）+x-2$，當(dāng)$x∈[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，f（x）≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． $（\sqrt{2}，4]$
• C． $（-∞，3\sqrt{2}]$
• D． $（\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由題意可得a-2^x≤2^2-x，從而可得2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$∈[3$\sqrt{2}$，5]，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知a＞$\sqrt{2}$，從而解得．

解答 解：∵$f（x）={log_2}（a-{2^x}）+x-2$≤0，
∴l(xiāng)og₂（a-2^x）≤2-x，
∴a-2^x≤2^2-x，
即a≤2^x+2^2-x=2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$，
∵$x∈[0，\frac{1}{2}]$，∴2^x∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$∈[3$\sqrt{2}$，5]，
∵當(dāng)$x∈[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，f（x）≤0恒成立，
∴a≤3$\sqrt{2}$，
又∵a-2^x＞0，故a＞$\sqrt{2}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題的應(yīng)用及對(duì)數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用．