Question

9．如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2$\sqrt{2}$，側棱長為4，E、F分別
為棱AB、BC的中點，EF∩BD=G；
（1）求直線D₁E與平面D₁DBB₁所成角的大�。�
（2）求點D₁到平面B₁EF的距離d．

Answer 1

分析 （1）通過線面關系找到所求的角，解三角形即可；（2）求點D₁到平面B₁EF的距離，根據（Ⅱ）中證出的平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只要過D₁作交線B₁G的垂線就得到點到面的距離，然后通過借直角三角形求解

解答 解：（1）設EF與DB交于點G，連接D₁G，連結AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
∴EF⊥BD．又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁，易得EG⊥面平面D₁DBB₁，所以∠ED₁G就是所求的角，
EF=$\frac{1}{4}$AC=1，D₁G=$\sqrt{{D}_{1}{D}^{2}\\;+D{M}^{2}}=5$，∴$tan∠E{D}_{1}M=\frac{1}{5}$
直線D₁E與平面D₁DBB₁所成角的大小為arctan$\frac{1}{5}$．
 （2）連接B₁G，作D₁H⊥B₁G，H為垂足．
由于平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，B₁G為交線，
∴D₁H⊥平面 B₁EF．D₁H的長是點D₁到平面B₁EF的距離．
在Rt△D₁B₁H中，D₁H=D₁B₁•sina∠D₁B₁H．
∵D₁B₁=$\sqrt{2}$A₁B₁=4，sin∠D₁B₁H=sina∠B₁GB=$\frac{4}{\sqrt{17}}$
∴D₁H=$\frac{16}{\sqrt{17}}$$\frac{16\sqrt{17}}{17}$∴點D₁到平面B₁EF的距離為$\frac{16\sqrt{17}}{16}$

點評 本題考查了空間線面角、點到面的距離，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．