Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1且a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前20項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{40}{21}$
• B． $\frac{41}{20}$
• C． 2
• D． $\frac{43}{20}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式利用累加法求出數(shù)列通項(xiàng)公式，然后再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前20項(xiàng)和．

解答 解：由a_n+1-a_n=n+1，且a₁=1，得
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$n+（n-1）+…+1=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前20項(xiàng)和為$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{20}}$=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}）=2（1-\frac{1}{21}）=\frac{40}{21}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．