Question

如圖所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C₁，C₂，…，C₆，直徑AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D₁，D₂，D₃，D₄.則：

(1)以這12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？
(2)以這10個(gè)點(diǎn)(不包括A，B)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？其中含點(diǎn)C₁的有多少個(gè)？

Answer 1

（1）360  （2）36

解：(1)構(gòu)成四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無(wú)三點(diǎn)共線，可以分成三類：
①四個(gè)點(diǎn)從C₁，C₂，…，C₆中取出，有C₆⁴個(gè)四邊形；
②三個(gè)點(diǎn)從C₁，C₂，…，C₆中取出，另一個(gè)點(diǎn)從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆³C₆¹個(gè)四邊形；
③二個(gè)點(diǎn)從C₁，C₂，…，C₆中取出，另外二個(gè)點(diǎn)從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆²C₆²個(gè)四邊形．
故滿足條件的四邊形共有
N＝C₆⁴＋C₆³C₆¹＋C₆²C₆²＝360(個(gè))．
(2)類似于(1)可分三種情況討論得三角形個(gè)數(shù)為
C₆³＋C₆¹C₄²＋C₆²C₄¹＝116(個(gè))．
其中含點(diǎn)C₁的有C₅²＋C₅¹C₄¹＋C₄²＝36(個(gè))．