Question

【題目】(2017安徽蚌埠一模)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點,且△PF1F2的周長是8+2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求直線EF的斜率.

Answer 1

【答案】(1)+y2=1. (2).

【解析】試題分析：

（1）由橢圓的離心率為可得a=4b，c=b，然后根據(jù)△PF1F2的周長可得b=1，a=4，從而可得橢圓的方程．（2）由題意知過點M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+1，由直線與圓相切可得32k2+36k+5=0，從而得到，．然后分別求出兩切線與橢圓交點的橫坐標和，最后根據(jù)斜率公式求解即可．

試題解析：

(1)由題意得e=，

∴a=4b，

∴c=b．

∵△PF1F2的周長是8+2，

∴2a+2c=8+2，

∴b=1,

∴a=4．

∴橢圓C的方程為+y2=1．

(2)由（1）得橢圓的上頂點為M(0,1)，

又由題意知過點M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為l：y=kx+1，

∵直線y=kx+1與圓T相切，

∴，

整理得32k2+36k+5=0，

∴

由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，

∴．

同理可得,

∴．

故直線EF的斜率為．