Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+

x3

3

-x²-2ax（a∈R），
（Ⅰ）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-

1

2

時，方程f（1-x）=

(1-x)3

3

+

b

x

有實根，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，等價于f′（x）=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在[3，+∞）上恒成立，分類討論，當(dāng)a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在[3，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-

1

2

時，方程f（1-x）=

(1-x)3

3

+

b

x

有實根，等價于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求g（x）=xlnx+x²-x³的值域．構(gòu)造h（x）=lnx+x-x²（x＞0），證明h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）因為函數(shù)y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在[3，+∞）上恒成立
當(dāng)a=0時，f′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
所以y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意
當(dāng)a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在[3，+∞）上恒成立
令函數(shù)g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其對稱軸為x=1-

1

4a

，
因為a＞0，所以1-

1

4a

＜1，
要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
即g（3）=-4a²+6a+1≥0，
所以

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

，
因為a＞0，所以0＜a≤

3+ 13

4

，
綜上所述，a的取值范圍為[0，

3+ 13

4

]；
（Ⅱ）當(dāng)a=-

1

2

時，方程f（1-x）=

(1-x)3

3

+

b

x

有實根，等價于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），則h′（x）=

(2x+1)(1-x)

x

，
∴0＜x＜1時，h′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時h′（x）＜0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）≤h（1）=0，
∵x＞0，
∴b=xh（x）≤0，
∴x=1時，b取得最大值0．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點．