Question

已知直線l過點P（1，0），且l與曲線y=x³和y=ax2+

15

4

x-9都相切，求a的值．

Answer 1

分析：當(dāng)l與y=x³，相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，x₀³），利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得出l的方程，結(jié)合P在上，解得x₀和l的方程．下面就直線l的方程的兩種情形分別求出a值即可．

解答：解：當(dāng)l與y=x³，相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，x₀³），則l的方程可表示為y-x₀³=3x₀²（x-x₀）
∵P在上，
∴3x₀²（1-x₀）=-x₀³
解得x₀=0與x₀=

3

2

即l的方程為y=0與y=

27

4

x-

27

4

當(dāng)l的方程為y=0時，由2ax+

15

4

=0得x=-

15

8a

∴y=a（-

15

8a

）2+

15

4

（-

15

8a

-9）=0
解得a=-

25

64

當(dāng)?shù)姆匠虨閥=

27

4

x-

27

4

時，由2ax+

15

4

=

27

4

   
得x=

3

2a

∴切點坐標(biāo)為（

3

2a

，

63

8a

-9）代入y=

27

4

得x-

27

4

得a=-1 
故所求a的值為a=-

25

64

與a=-1．

點評：本小題主要考查直線方程的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．