Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點，
(Ⅰ) 求證：AC⊥SD；
(Ⅱ) 若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大�。�
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD。 
(Ⅱ)設(shè)正方形邊長a，則，
又，所以∠SOD=60°，
連結(jié)OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，即二面角P-AC-D的大小為30°。
(Ⅲ)在棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC，由（Ⅱ）可得，
故可在SP上取一點N，使PN=PD，
過N作PC的平行線與SC的交點即為E，連結(jié)BN，
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，
由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。