Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）。
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，若函數(shù)g(x)=x³+x²[f′（x）+]在區(qū)間（t，3）上有最值，求實數(shù)m取值范圍；
（3）求證：）（n∈N*且n>1）。

Answer 1

解：（1），
當a>0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當a<0時，f（x）的單調增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數(shù)；
（2）得a=-2，
∴，
∴，
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)，且g（0）=-2，
∴，
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）<0恒成立，
所以，，
∴；
（3）令a=-1此時，所以f（1）=-2，
由（1）知在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時，f（x）>f（1），
即，
∴，對一切x∈（1，+∞）成立，
取，則，即，（n≥2），
∴。