Question

3．已知函數(shù) f（x）=4$\sqrt{3}sinxcosx-4{sin^2}$x+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，a=2，若對任意的x∈R不等式f（x）≤f（A）恒成立，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$ 解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由題意得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z結(jié)合A的范圍，解得A的值，由余弦定理可解得bc的最大值，由三角形面積公式即可求得△ABC面積的最大值．

解答 （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）$f（x）=4\sqrt{3}sinxcosx-4{sin^2}x+1$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-2sin²x
=2$\sqrt{3}$sin2x+2cos2x-1
=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$ 解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]，k∈Z
（Ⅱ）由題意得當x=A時，f（x）取得最大值，則2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z及A∈（0，π）
解得A=$\frac{π}{6}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{4}bc$，
由余弦定理得4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc$≥2bc-\sqrt{3}bc$
即bc$≤\frac{4}{2-\sqrt{3}}=4（2+\sqrt{3}）$
所以當b=c時，△ABC面積的最大值=$\frac{1}{4}×4（2+\sqrt{3}）$=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了基本不等式的應用，屬于基本知識的考查．