8．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A、右焦點(diǎn)為F，B為橢圓E在第二象限上的點(diǎn)，直線BO交橢圓E于點(diǎn)C，若直線BF平分線段AC，則橢圓E的離心率是$\frac{1}{3}$．

分析 設(shè)AC中點(diǎn)為M，連接OM，則OM為△ABC的中位線，運(yùn)用三角形的中位線定理和三角形相似的性質(zhì)可得離心率．

解答 解：如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M，連接OM，
則OM為△ABC的中位線，
于是△OFM∽△AFB，且$\frac{|OF|}{|FA|}$=$\frac{|OM|}{|AB|}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{c}{a-c}$=$\frac{1}{2}$可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，運(yùn)用中位線定理和三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\sqrt{3}）$，離心率為$\frac{1}{2}$，左右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以線段F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，求$\frac{|AB|}{|CD|}$的值．

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3．橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$上有動(dòng)P（m，n），則m+2n的取值范圍為[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．

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13．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，|AF|的最大值為M，|BF|的最小值為m，滿足$M•m=\frac{3}{4}{a^2}$．
（Ⅰ）若線段AB垂直于x軸時(shí)，|AB|=$\frac{3}{2}$，求橢圓的方程；
（Ⅱ） 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范圍．

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20．過(guò)點(diǎn)A（-1，-2）且焦點(diǎn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．

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17．直線x-2y+3=0與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，B兩點(diǎn)，且P（-1，1）恰好為AB中點(diǎn)，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

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18．已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，若有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}，n∈{N^*}$的前n項(xiàng)和為$\frac{255}{256}$，則n=8．

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