Question

【題目】設(shè)k＞0，函數(shù)f（x）=+x+kln|x﹣1|．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且0＜θ＜π時(shí)，證明：（2k﹣1）sinθ+（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞0．

Answer 1

【答案】解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞），
①當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=+x+kln（x﹣1），
由于k＞0，則f′（x）=x+1+=＞0恒成立，、
故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=+x+kln（1﹣x），
由于k＞0，則f′（x）=x+1+═，
若k≥1，f′（x）≤0恒成立，f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，
若0＜k＜1，令f′（x）＞0，即﹣＜x＜，
令f′（x）＜0，即＜x＜1，或x＜﹣，
綜上所述：當(dāng)0＜k＜1，f（x）在（﹣，）上單調(diào)遞增，在（，1），（﹣∞，﹣）上單調(diào)遞減，
當(dāng)k≥1時(shí)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2），由（1）知，當(dāng)0＜k＜1，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)﹣，
當(dāng)k≥1時(shí)，f（x）沒有極值點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，0＜k＜1，
原不等式等價(jià)于（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞（1﹣2k）sinθ，
∵0＜θ＜π，
∴sinθ＞0，
∴（1﹣k）2sinθ=（1﹣2k+k2）sinθ＞（1﹣2k）sinθ，
∴只要證（1﹣k）sin[（1﹣k）θ]＞（1﹣k）2sinθ，
只要證＞，
∵（1﹣k）θ，θ∈（0，π），
構(gòu)造函數(shù)g（x）=（0＜x＜π），
則只要證g[（1﹣k）θ]＞g（θ），
而g′（x）=，
設(shè)h（x）=xcosx﹣sinx，（0＜x＜π），
則h′（x）=﹣xsinx＜0，
∴h（x）在（0，π）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）=＜0，
∴g（x）在在（0，π）上是減函數(shù)，
∵（1﹣k）θ＜θ，
∴g[（1﹣k）θ]＞g（θ），
故原不等式成立．
【解析】（1），先求導(dǎo)，通過分類討，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）原不等式等價(jià)于＞ ， 分別構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及最值得關(guān)系，即可證明．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．