Question

9．已知函數(shù)f（x）=1nx，g（x）=-$\frac{1}{x}$．判斷曲線y=f（x）與曲線y=g（x）（x＜0）的公共切線（與兩曲線均相切）的條數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)與曲線y=f（x）相切的切線的切點(diǎn)為（x₁，lnx₁），與曲線y=g（x）（x＜0）相切的切線的切點(diǎn)為（x₂，-$\frac{1}{{x}_{2}}$），求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的方程，由公切線的含義，斜率相等且縱截距相等，可得方程，再由h（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到公切線的條數(shù)．

解答 解：設(shè)與曲線y=f（x）相切的切線的切點(diǎn)為（x₁，lnx₁），
與曲線y=g（x）（x＜0）相切的切線的切點(diǎn)為（x₂，-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切線的方程為y-lnx₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁），①
y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂），②
由公切線可得$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，且lnx₁-1=-$\frac{2}{{x}_{2}}$，
可得2ln（-x₂）-$\frac{2}{-{x}_{2}}$-1=0，
可令t=-x²，（t＞0），h（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-1，
h′（t）=$\frac{2}{t}$+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，可得h（t）遞增，
由h（2）=2ln2-2＜0，h（3）=2ln3-$\frac{5}{3}$＞0，可得h（t）僅有一個(gè)零點(diǎn)，
故公切線的條數(shù)為1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．