Question

（1）已知函數f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求實數t的取值范圍；

（2）證明：＜ln＜，其中0＜a＜b；

（3）設[x]表示不超過x的最大整數，證明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據題意，其實是求實數t的取值范圍使函數的最小值小于零，結合函數的解析式的特點，應利導數工具，研究函數的單調性和極（最）值問題.（2）要證，即證：，只要證：,因為，所以， ，因此可構造函數，利用導數探究其在符號即可.類似的方法可證明，必要時可借用（1）的結論.

（3）根據的定義，

要證

只需證：

由（2），若令，則有

當分別取時有：

上述同向不等式兩邊相加可得：，類似地可證另一部分.

試題解析：（1）若t＜0，令x＝，則f()＝e－1－1＜0；

若t＝0，f(x)＝ex－1＞0，不合題意；

若t＞0，只需f(x)min≤0．

求導數，得f′(x)＝ex－1－t．

令f′(x)＝0，解得x＝lnt＋1．

當x＜lnt＋1時，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，lnt＋1)上是減函數；

當x＞lnt＋1時，f′(x)＞0，∴f(x)在(lnt＋1，＋∞)上是增函數．

故f(x)在x＝lnt＋1處取得最小值f(lnt＋1)＝t－t(lnt＋1)＝－tlnt．

∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．

綜上可知，實數t的取值范圍為(－∞，0)∪[1，+∞)． 4分

（2）由（1），知f(x)≥f(lnt＋1)，即ex－1－tx≥－tlnt．

取t＝1，ex－1－x≥0，即x≤ex－1．

當x＞0時，lnx≤x－1，當且僅當x＝1時，等號成立，

故當x＞0且x≠1時，有lnx＜x－1．

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即ln＜．

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即－ln＜，亦即ln＞．

綜上，得＜ln＜． 9分

（3）由（2），得＜ln＜．

令a＝k，b＝k＋1（k∈N*），得＜ln＜．

對于ln＜，分別取k＝1，2， ，n，

將上述n個不等式依次相加，得

ln＋ln＋ ＋ln＜1＋＋ ＋，

∴ln(1＋n)＜1＋＋ ＋． ①

對于＜ln，分別取k＝1，2， ，n－1，

將上述n－1個不等式依次相加，得

＋＋ ＋＜ln＋ln＋ ＋ln，即＋＋ ＋＜lnn（n≥2），

∴1＋＋ ＋≤1＋lnn（n∈N*）． ②

綜合①②，得ln(1＋n)＜1＋＋ ＋≤1＋lnn．

易知，當p＜q時，[p]≤[q]，

∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤[1＋lnn]（n∈N*）．

又∵[1＋lnn]＝1＋[lnn]，

∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）． 14分

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、對數的運算性質；3、構造函數解決不等式問題.