Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)在圓：上.

（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；

（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn).請(qǐng)判斷是否存在斜率不為0的直線，使點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由圓方程可知圓心為，即，又因?yàn)殡x心率為，可得，根據(jù)橢圓中關(guān)系式，可求。橢圓方程即可求出。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453189433876053_DA.files/image007.png">，則右頂點(diǎn)為，將其代入圓的方程可求半徑。（Ⅱ）設(shè)出直線方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，消掉y（或x）得到關(guān)于x的一元二次方程。再根據(jù)韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453189433876053_DA.files/image010.png">是其中一個(gè)交點(diǎn)，所以方程的一個(gè)根為2。用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入圓方程。解出的值。若則說(shuō)明存在滿足條件的直線可求出其方程，若，則說(shuō)明不存在滿足條件的直線。法二：假設(shè)存在，由已知可得，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上可推導(dǎo)得，與矛盾，故假設(shè)不成立。

試題解析：（Ⅰ）由題意可得，                            1分

又由題意可得，

所以，                                           2分

所以,                                   3分

所以橢圓的方程為.                         4分

所以橢圓的右頂點(diǎn)，                             5分

代入圓的方程，可得,

所以圓的方程為.                        6分

（Ⅱ）法1：

假設(shè)存在直線:滿足條件，               7分

由得          8分

設(shè)，則,                          9分

可得中點(diǎn)，                            11分

由點(diǎn)在圓上可得

化簡(jiǎn)整理得                                       13分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030504514600582987/SYS201403050453189433876053_DA.files/image038.png">，

所以不存在滿足條件的直線.                             14分

（Ⅱ）法2：

假設(shè)存在直線滿足題意.

由（Ⅰ）可得是圓的直徑，                           7分

所以.                                          8分

由點(diǎn)是中點(diǎn)，可得.                    9分

設(shè)點(diǎn)，則由題意可得.                  10分

又因?yàn)橹本�的斜率不為0，所以,                   11分

所以,           13分

這與矛盾，所以不存在滿足條件的直線.           14分

考點(diǎn)：橢圓及圓的基礎(chǔ)知識(shí)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及化歸與轉(zhuǎn)化的能力，考查綜合素質(zhì)。