Question

3．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，則a的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 由柯西不等式得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2b²+3c²+6d²）≥（b+c+d）²，從而得到關(guān)于a的不等關(guān)系：5-a²≥（3-a）²，解之即a的取值范圍．

解答 解：由柯西不等式得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2b²+3c²+6d²）≥（b+c+d）²
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²
將條件代入可得5-a²≥（3-a）²，解得1≤a≤2．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{6}d}{\sqrt{\frac{1}{6}}}$時(shí)等號(hào)成立，
可知b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{6}$時(shí)a最大=2，
b=1，c=$\frac{2}{3}$，d=$\frac{1}{3}$時(shí)，a最小=1，
所以：a的取值范圍是[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查不等式的證明問(wèn)題，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，有一定的技巧性，需要同學(xué)們對(duì)一般形式的柯西不等式非常熟練．