Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）最小正周期為$\frac{π}{2}$，最大值為4，最小值為0，圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{3}$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意得A+m=4，A-m=0，求出A、m的值，根據(jù)周期求出ω，
根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸及φ的范圍求出φ，從而得到符合條件的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的單調(diào)增和減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得A+m=4，A-m=0，
解得 A=2，m=2；．
再由f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=4，
∴函數(shù)f（x）=2sin（4x+φ）+2．
再由 x=$\frac{π}{3}$是其圖象的一條對稱軸，
可得 4×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+2；
（2）∵函數(shù)f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+2，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；
同理，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．