Question

設函數f（x）滿足f（e^x）=x²-2ax+a²-1（a∈R），
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，e]上恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）使用換元法令e^x=t，則x=lnt代入即可求出；
（2）若函數f（x）滿足

f(x)在區(qū)間[1，e]上單調 f(1)f(e)＜0

，則f（x）在區(qū)間（1，e）上只有一個零點；
若函數f（x）在區(qū)間[1，e]上單調，且滿足若有f（1）=0或若有f（e）=0，亦可．此解出即可．

解答：解：（1）令e^x=t，則x=lnt，∴f（t）=ln²t-2alnt+a²-1，
把t換成x得f（x）=ln²x-2alnx+a²-1（a∈R，x＞0）．
（2）∵f（x）=（lnx-a）²-1，由x∈[1，e]，得lnx∈[0，1]，
∴當a≥1，或a≤0時，f（x）在[1，e]上具有單調性．
∵f（x）在區(qū)間[1，e]上恰有一個零點，
∴

a≥1，或a≤0 f(1)f(e)≤0

 解得-1≤a≤0，或1≤a≤2．
故a的取值范圍是[-1，0]∪[1，2]．

點評：本題考查了閉區(qū)間上的函數的零點，掌握函數開區(qū)間上恰有一個零點的充分條件是解決此問題的關鍵．