對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中， 對自然數(shù)，規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列，其中．
（1）已知數(shù)列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？
（2）若數(shù)列首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式。
（3）對（2）中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對一切自然都成立？若存在，求數(shù)列的通項公式；若不存在，則請說明理由。

（1）是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。
（2），，，，猜想：
證明：數(shù)學(xué)歸納法。
（3）組合數(shù)性質(zhì)證得，存在等差數(shù)列，，使得對一切自然都成 。

解析試題分析：（1）， 1分
∴是首項為4，公差為2的等差數(shù)列。            2分
                3分
∴是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。
4分
（2），即，即，∴          6分
∵，∴，，，猜想：
7分
證明：ⅰ）當(dāng)時，；
ⅱ）假設(shè)時，            8分
時， 結(jié)論也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，           10分
（3），即
.   ...11分
∵       13分
∴存在等差數(shù)列，，使得對一切自然都成  14分
考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)歸納法，組合數(shù)的性質(zhì)。
點評：中檔題，本題綜合性較強，將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、二項式系數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)公式等綜合考查。利用“功能、猜想、證明”的方法，研究得到數(shù)列的特征，是常見題型。（3）小題利用二項式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式，得到證明恒等式的目的。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)等差數(shù)列的前項和，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

對于給定數(shù)列，如果存在實常數(shù)使得對于任意都成立，我們稱數(shù)列是“數(shù)列”．
（Ⅰ）若，，，數(shù)列、是否為“數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)，若不是，請說明理由；
（Ⅱ）證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則數(shù)列也是“數(shù)列”；
（Ⅲ）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．求數(shù)列前項的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足
(1)設(shè)是公差為的等差數(shù)列.當(dāng)時,求的值;
(2)設(shè)求正整數(shù)使得一切均有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知正項數(shù)列在拋物線上；數(shù)列中，點在過點（0，1），以為斜率的直線上。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若成立，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由；
（3）對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等比數(shù)列的前項和為，，且、、成等差數(shù)列.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在數(shù)列{}中，，且，
（1）求的值；
（2）猜測數(shù)列{}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（1）判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說明理由；
（2）如果，試寫出數(shù)列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列得前n項和為，問是否存在這樣的實數(shù)，使當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值。若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知,數(shù)列滿足,數(shù)列滿足；又知數(shù)列中，，且對任意正整數(shù)，.
（Ⅰ）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）將數(shù)列中的第項，第項，第項，……，第項，……刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列，求數(shù)列的前項和.

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