Question

如圖，△ABC中，點A（-1，0），B（1，0）．圓I是△ABC的內切圓，且CI延長線交AB與點D，若

CI

=2

ID

（1）求點C的軌跡Ω的方程
（2）若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上點（x₀，y₀）處的切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1
①過直線l：x=4上一點M引Ω的兩條切線，切點分別是P、Q，求證直線PQ恒過定點N；
②是否存在實數(shù)λ，使得|PN|+|QN|=λ|PN|•|QN|？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）抓住內切圓的性質找到等量關系，再根據(jù)橢圓的定義下結論，從而求出結果；
（2）①要正確理解直線過定點概念，從直線方程的角度來看的話，即將直線方程化成點斜式，一般即可判斷直線所過的定點是誰；
②涉及到直線和圓相交的問題，若采用代數(shù)法，一般是將直線方程代入圓的方程化簡，結合韋達定理將所求表達出來再進行化簡即可，注意設而不求的思想方法．

解答： 解析：（1）據(jù)題意

|CI|

|ID|

=

|CA|

|AD|

=

|CB|

|BD|

=

|CA|+|CB|

|AD|+|BD|

=2
從而可得|CA|+|CB|=4＞2
由橢圓定義知道，C的軌跡為以A、B為焦點的橢圓
所以所求的橢圓Ω的方程為

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．
（2）①設切點坐標為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l上的點M的坐標（4，t）．
則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又兩切線均過點M，即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
從而點P，Q的坐標都適合方程x+

t

3

y=1，
而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是x+

t

3

y=1，顯然對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，故直線PQ恒過定點N（1，0）．
②將直線PQ的方程x=-

t

3

y+1，代入橢圓方程，得3(-

t

3

y+1)2+4y2-12=0，即(

t2

3

+4)y2-2ty-9=0．∴y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=

-27

t2+12

．
不妨設y₁＞0，y₂＜0.|PN|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

( t2 9 +1) y 2 1

=

t2+9

3

y1，同理|QN|=-

t2+9

3

y2．
所以λ=

1

|PN|

+

1

|QN|

=

3

t2+9

•(

1

y1

-

1

y2

)=

3

t2+9

•

y2-y1

y1y2

=-

3

t2+9

•

(t2-y1)2

y1y2

=-

3

t2+9

•

( 6t t2+12 )2 + 108 t2+12

- 27 t2+12

=

1

t2+9

•

144t2+9×144

9

=

4

3

．
故存在實數(shù)λ=

4

3

，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．

點評：本題屬綜合體，有一定難度，要注意深刻、準確挖掘隱含的已知條件，才能順利的解題．