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已知f(x)=-
4+
1
x2
，數列{an}的前n項和為Sn，點Pn(an，-
1
an+1
)在曲線y=f（x）上（n∈N*），且a1=1，an＞0．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{bn]的前n項和為Tn，且滿足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3，b1=1，求證：數列{
Tn
4n-3
}是等差數列，并求數列{bn]的通項公式．
分析：（1）由已知得出-
1
an+1
=f（an）=-
4+
1
 an2
，且an＞0，兩邊平方并移向得出
1
an+12
-
1
an2
=4，
判斷出數列{
1
an2
}是等差數列后通項公式易求．
（2）由an=
1
4n-3
(n∈N*)代入
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3，計算整理，并判斷出數列{
Tn
4n-3
}是等差數列．求出Tn后再求bn．
解答：解：（1）由已知，-
1
an+1
=f（an）=-
4+
1
 an2
，且an＞0，
∴
1
an+1
=
4+
1
an2
 兩邊平方并移向得出
1
an+12
-
1
an2
=4，
∴數列{
1
an2
}是等差數列首項
1
a12
=1公差d=4
∴
1
an2
=1+4（n-1）=4n-3．
∴an=
1
4n-3
(n∈N*)…（6分）
（2）由an=
1
4n-3
(n∈N*)，
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
得（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），
∴
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1，
∴數列{
Tn
4n-3
}是等差數列．…（10分）
∴
Tn
4n-3
=n，
∴Tn=4n2-3n
當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=8n-7，b1=1也滿足上式
∴bn=8n-7…（12分）
點評：本題考查等差數列的判定、通項公式求解．考查變形構造、轉化、計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
4-tx
(t＞0)的定義域為A，不等式x2-4x-12＜0的解集為B．記p：x∈A，q：x∈B
（1）當t=2時，試判斷p是q的什么條件？
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•樂山二模）已知f(x)=-
4+
1
x2
，點Pn(an，-
1
an+1
)在曲線y=f（x）上（n∈N*）且a1=1，an＞0．
（Ⅰ）求證：數列{
1
a
2
n
}為等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{
a
2
n
•
a
2
n+1
}的前n項和為Sn，若對于任意的n∈N*，存在正整數t，使得Sn＜t2-t-
1
2
恒成立，求最小正整數t的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•黃浦區(qū)二模）已知f(x)=4-
1
x
，若存在區(qū)間[a，b]⊆(
1
3
，+∞)，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，則實數m的取值范圍是
（3，4）
（3，4）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
4×2x+2
2x+1
+ln(x+
1+x2
)，若f（x）在[-2，2]上的最大值，最小值分別為M，N，則M+N=
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•黃浦區(qū)二模）已知f(x)=4-
1x
，若存在區(qū)間[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，則實數m的取值范圍是
（0，4）
（0，4）
．

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