Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點B為橢圓C在第一象限中的任意一點，過B作C的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，求三角形OCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過將$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}）$代入橢圓C方程并聯(lián)立e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過設(shè)l：y=kx+b（k＜0）并與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0可知b²=1+2k²，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}）$，
∴$\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$，
又∵離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)l：y=kx+b（k＜0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（$\frac{1}{2}$+k）x²+2kbx+b²+1=0，
令△=$4{k}^{2}{•b}^{2}-4•（\frac{1}{2}+k）•（^{2}+1）$=0，則b²=1+2k²，
∴${S_{△OCD}}=\frac{1}{2}•（-\frac{k}）•b=-\frac{b^2}{2k}=-\frac{{1+2{k^2}}}{2k}=\frac{1}{2}[{\frac{1}{-k}+（-2k）}]≥\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{1}{-k}=-2k$，即$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時取等號，
∴三角形OCD的面積的最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．