Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝2，PA，AC∩BD＝O

（1）設(shè)平面ABP∩平面DCP＝l，證明：l∥AB

（2）若E是PA的中點(diǎn)，求三棱錐P﹣BCE的體積VP﹣BCE．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理可以證明出BD⊥面PAC，因此可以得到BO是三棱錐B﹣PCE的高．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

證明：（1）因?yàn)?/span>AB∥DC，AB平面PDC，DC平面PDC，

所以AB∥平面PDC．

又平面ABP∩平面DCP＝l，且AB面ABP，

所以l∥AB．

解：（2）因?yàn)榈酌媸橇庑危�所�?/span>BD⊥AC．

因?yàn)?/span>PB＝PD，且O是BD中點(diǎn)，所以BD⊥PO．

又PO∩AC＝O，所以BD⊥面PAC．

所以BO是三棱錐B﹣PCE的高．

因?yàn)?/span>AO為邊長(zhǎng)為2的等邊△ABD的中線，所以AO．

因?yàn)?/span>PO為邊長(zhǎng)為2的等邊△PBD的中線，所以PO．

在△POA中，PA，AO，PO，

所以AO2+PO2＝PA2，所以PO⊥AO．

所以，

因?yàn)?/span>E是線段PA的中點(diǎn)，所以．

所以三棱錐P﹣BCE 的體積：

VP﹣BCE＝VB﹣PCE．