Question

已知函數f（x）（x∈R）是偶函數，且f（2+x）=f（2-x），當x∈[0，2]時，f（x）=1-x，則方程f（x）=

1

-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個數是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的周期性

專題：常規(guī)題型,函數的性質及應用

分析：根據函數滿足f（2+x）=f（2-x），得到函數圖象關于x=2對稱，再結合奇偶性推出函數的周期性，然后把方程解的個數問題轉化成兩函數圖象的交點個數問題解決．

解答： 解：∵函數f（x）（x∈R）是偶函數，
∴f（-x）=f（x）…①
∵f（2+x）=f（2-x）…②
∴f（x）的圖象關于x=2對稱，
由①②得，f（x）=f（x+4）
所以函數的周期為4，
∵畫出函數f（x）和函數y=

1

-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的大致圖象，
方程f（x）=

1

-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個數就是這兩個圖象的交點個數，
所以由圖象可知方程解的個數為10，
故答案為：10．

點評：本題考查了函數的奇偶性、對稱性和單調性，關鍵是把方程解的個數問題轉化成兩圖象的交點個數．考查了數形結合的思想．