Question

已知x∈R，則函數(shù)f（x）=

x2+x+1

-

x2-x+1

的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：配方由兩點(diǎn)間的距離公式可得f（x）的值域表示|PA|-|PB|的取值范圍，由三角形的三邊關(guān)系可得．

解答： 解：配方可得f(x)=

x2+x+1

-

x2-x+1

=

(x+ 1 2 )2+(0- 3 2 )2

-

(x- 1 2 )2+(0- 3 2 )2

，
構(gòu)造點(diǎn)P（x，0），A(-

1

2

，

3

2

)，B(

1

2

，

3

2

)，
函數(shù)f（x）的值域表示|PA|-|PB|的取值范圍．
由于三角形的兩邊之差小于第三邊，
∴||PA|-|PB||＜|AB|=1，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋海?1，1）．
故答案為：（-1，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，考慮幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．