Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2x．
（1）討論f（x）在區(qū)間（-∞，1]上的單調(diào)性，并證明你的結論；
（2）當x∈[0，5]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=-x²+2x的圖象是開口向下的拋物線，關于x=1對稱，
∴函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]上是單調(diào)增函數(shù)，證明如下
設x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+2x₁-（-x₂²+2x₂）=（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）
∵x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，得f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，5）上是減函數(shù)
∴當x∈[0，5]時，f（x）的最大值為f（1）=1，最小值為f（5）=-15．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]上是單調(diào)增函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可；
（2）由函數(shù)的圖象結合函數(shù)的單調(diào)性，不難得到f（x）的最大值和最小值．
點評：本題給出一個二次函數(shù)，叫我們求它的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的最值，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性的定義等知識，屬于中檔題．