Question

設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my=0與過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則|PA|+|PB|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：恒過定點的直線

專題：直線與圓

分析：動直線x+my=0過定點A（0，0），動直線mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0過定點B（1，3）．無論m=0，m≠0，都有此兩條直線垂直．因此點P在以AB為直徑的圓上，利用

2(|PA|2+|PB|2)

≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出．

解答： 解：動直線x+my=0過定點A（0，0），
動直線mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0過定點B（1，3）．
無論m=0，m≠0，都有此兩條直線垂直．
∴點P在以AB為直徑的圓上，
|AB|=

12+32

=

10

，|PA|²+|PB|²=10．
∴

2(|PA|2+|PB|2)

≥|PA|+|PB|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=

5

時取等號．
∴2

5

≥|PA|+|PB|≥

10

．
故答案為：[

10

，2

5

]．

點評：本題考查了“直線系”的應(yīng)用、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．