Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=t＞0，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…
（1）若t=

3

5

，求{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）若a_n+1＞a_n對(duì)一切n∈N^*都成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將等式an+1=

3an

2an+1

兩邊同取倒數(shù)可得

1

an

=

1

3an

+

2

3

，則

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，可構(gòu)造數(shù)列{

1

an

-1}的首項(xiàng)為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)，從而可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由a1＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，而a_n+1＞a_n得

1

an+1

＜

1

an

，根據(jù)（1）可知

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，即

1

an

-1=(

1

t

-1)(

1

3

)n-1，代入

1

an+1

＜

1

an

可得關(guān)于t的不等關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）由題意知a_n＞0，an+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

3an

，即

1

an

=

1

3an

+

2

3

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴數(shù)列{

1

an

-1}的首項(xiàng)為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列
則

1

an

-1=(

5

3

-1)(

1

3

)n-1=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

（2）由（1）知

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，即

1

an

-1=(

1

t

-1)(

1

3

)n-1
由a1＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，
故a_n+1＞a_n得

1

an+1

＜

1

an

即(

1

t

-1)(

1

3

)n+1＜(

1

t

-1)(

1

3

)n-1+1
得

1

t

-1＞0，又t＞0，則0＜t＜1
∴t的取值范圍為（0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，以及利用構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)和數(shù)列與不等式的綜合，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．