【題目】已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，證明：.

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

(1)由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知題目可轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不同根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，從而討論求解；

(2) 問題等價(jià)于，令，則，所以，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.

解：（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

方程在有兩個(gè)不同根；

即方程在有兩個(gè)不同根；

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖．

可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只須．

令切點(diǎn)，

故，又

故，解得，，

故，故的取值范圍為

(2)由(1)可知分別是方程的兩個(gè)根，

即， ，作差得，即

對(duì)于，取對(duì)數(shù)得，即

又因?yàn)?/span>，所以，得

令，則，，即

設(shè)， ，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，

即不等式成立，

故所證不等式成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方形中，，是中點(diǎn)，將和分別沿若、翻折，使得、兩點(diǎn)重合，則所形成的立體圖形的外接球的表面積是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球2分，取出藍(lán)球得3分．

（1）當(dāng)a=3，b=2，c=1時(shí)，從該袋子中任�。ㄓ蟹呕�，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和．，求ξ分布列；

（2）從該袋子中任取（且每球取到的機(jī)會(huì)均等）1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若，求a：b：c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，已知平面，為的中點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，連接，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，已知平面，，，.

(1) 求證：；

(2) 求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，證明：；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

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