Question

4．已知函數(shù)y=3sinxcosx+sinx-cosx，則它的值域為（　�。�

• A． $[{-\frac{3}{2}-\sqrt{2}，-\frac{3}{2}+\sqrt{2}}]$
• B． $[{-\frac{3}{2}-\sqrt{2}，\frac{5}{3}}]$
• C． $[{\frac{3}{2}+\sqrt{2}，\frac{5}{3}}]$
• D． $[{-\frac{10}{3}，-\frac{3}{2}-\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 首先將y=sinx-cosx+sinxcosx 通過換元法，設(shè)sinx-cosx=t（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$），關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：g（t）=-$\frac{3}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可求得結(jié)果．

解答 解：∵y=sinx-cosx+3sinxcosx
設(shè)sinx-cosx=t（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$）則：sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
因此函數(shù)關(guān)系是轉(zhuǎn)化為：g（t）=-$\frac{3}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可求得結(jié)果．
g（t）=-$\frac{3}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{5}{3}$，（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$），
∴g（t）_max=g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{3}$，
g（t）_min=g（-$\sqrt{2}$）=-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$故y=sinx-cosx+sinxcosx的值域為[-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]
故選：B．

點評 本題主要考查了二倍角的正弦及二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，重點體現(xiàn)了換元法和配方法，屬于中檔題．