已知函數(shù)f(x)＝x(＋)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；

(3)證明：函數(shù)f(x)在定義域上恒大于0．

答案：
解析：

　　解：(1)定義域為{x|x≠0}．

　　(2)因為f(x)＝x(＋)，所以f(x)＝x(＋)＝．

　　因為f(－x)＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．

　　(3)當x＞0時，3x＞1，所以3x－1＞0．所以＞0，從而有＋＞．

　　所以x(＋)＞＞0，即當x＞0時，f(x)＞0；

　　當x＜0時，1＞3x＞0，所以0＞3x－1＞－1．所以＜－1，從而有＋＜．

　　所以x(＋)＞－＞0，即當x＜0時，f(x)＞0．

　　綜上所述，函數(shù)f(x)在定義域上恒大于0．

　　點評：(1)判斷函數(shù)的奇偶性可以直接運用定義來判斷，也可以運用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：若函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．因此對于本題中的(2)還有以下解法：

　　因為f(x)－f(－x)＝x(＋＋1)＝x(＋1)＝0．

　　所以得f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．

　　(2)證明函數(shù)在定義域上恒大于0的問題，可以運用分類討論來逐步求解，也可以轉化為先證明函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上值域為(0，＋∞)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)得到函數(shù)f(x)在(－∞，0)上值域為(0，＋∞)，從而證得結論．


提示：

本題中求函數(shù)的定義域從分母不為0入手；對于函數(shù)奇偶性的討論可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來判斷．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實數(shù)m的值；

(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；

(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當x∈[1,5)時函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源：新課標高三數(shù)學對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項訓練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個解，求t的值；
(2)當0＜a＜1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西省高二下學期第二次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆新課標高三配套第四次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（3）當a＝1時，設函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）設函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù)；試問是否存在實數(shù)a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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