Question

已知△ABC的面積為，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3，b=4，0＜C＜90°．
（1）求sin（A+B）的值；   
（2）求的值；
（3）求向量的數量積．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC中，由a=3，b=4，absinC=2，可求得sinC=，從而可得sin（A+B）的值；
（2）由sinC=，0＜C＜90°可求cosC，從而可求得sin2C，由二倍角的余弦公式可求得cos2C，最后利用兩角和的余弦公式即可求得cos（2C+）；
（3））||=a=3，=b=4，設向量與所成的角為θ，則θ=180°-C，利用向量的數量積即可求得•．
解答：解：（1）由absinC=2，即×3×4sinC=2，得sinC=．（2分）
∵A+B=180°-C，
∴sin（A+B）=sin（180°-C）=sinC=（4分）
（2）由（1）得sinC=，∵0＜C＜90°，
∴cosC===（5分）
∴cos2C=2cos²C-1=2×-1=．（6分）
∴sin2C=2sinCcosC
=2××
=（7分）
∴cos（2C+）=cos2Ccos-sin2Csin
=×-×
=-．（9分）
（3）∵||=a=3，=b=4，（10分）
設向量與所成的角為θ，則θ=180°-C（11分）
∴•=•cosθ
=abcos（180°-C）
=-abcosC
=-3×4×
=-4（12分）
點評：本題考查正弦定理，考查同角三角函數間的基本關系與兩角和與差的余弦，并以三角形為載體考查向量的數量積的運算，綜合性強，突出運算能力的考查，屬于難題．